方程组的解法

概要： 二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍． 例1 解方程组 解 将原方程组改写为 由方程②得x=6+4y，代入①化简得 11y-4z=-19． ④ 由③得 2y+3z=4． ⑤ ④×3+⑤&ti

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　二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．

　　例1 解方程组

　

　　解 将原方程组改写为

 

　　由方程②得x=6+4y，代入①化简得

11y-4z=-19． ④

　　由③得

2y+3z=4． ⑤

　　 ④×3+⑤×4得

33y+8y=-57+16，

　　所以 y=-1．

　　将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以

为原方程组的解．

　　说明 本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．

　　解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．

　　例2 解方程组

 

　　解法1 由①，④消x得

　　由⑥，⑦消元，得

　　解之得

　　将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以

 

　　解法2 由原方程组得

　　所以

x=5-2y=5-2(8-2z)

=-11+4z=-11+4(11-2u)

=33-8u=33-8(6-2x)

=-15+16x，

　　 即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以

为原方程组的解．

　　解法3 ①+②+③+④得

x+y+z+u=10， ⑤

　　　　由⑤-(①+③)得

y+u=6， ⑥

　　　　由①×2-④得

4y-u=4， ⑦

　　 　　⑥+⑦得y=2．以下略．

　　说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．

　　例3 解方程组

 

　　分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：

　　　　 ①+②得

www.99youjiao.com>x+u=3， ⑥

　　　　 ②+③得

y+v=5， ⑦

　　　　 ③+④得

z+x=7， ⑧

　　 　　④+⑤得

u+y=9． ⑨

　　 又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15．⑩

　　 ⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以

为原方程组的解．

　　例4 解方程组

 

　　解法1 ①×2+②得

　　　　由③得

　　　　代入④得

　　　

　　　

　　　

　　

　　为原方程组的解．

　

　　　

　　　

为原方程组的解．

　　说明 解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消

为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．

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