含绝对值的方程及不等式

概要： 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法． 一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数： 含绝对值的不等式的性质： (2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜； (3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜． 由于绝对值

含绝对值的方程及不等式,标签：儿童科普故事,儿童科普读物,http://www.99youjiao.com

　　从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．

　　一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：

　　含绝对值的不等式的性质：

　

　　(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；

　　(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

　　由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

　　例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．

　　分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．

　　解(1)当x≥2时，原方程化为

(x-2)+(2x+1)=7，

　　　

-(x-2)+(2x+1)=7．

　　

应舍去．

　　　

-(x-2)-(2x+1)=7．

　　说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．

　　例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

　　

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．

｜x-(2x+1)｜=3，

　　

　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　｜1+x｜=3，

　　所以 　　　　　　　　　　　　　　　x=2或x=-4．

　　　

　

　　　　　　　　　　　　　　　｜x+(2x+1)｜=3，

即　　　　　　　　　　　　　　 ｜3x+1｜=3，

　　的个数为2．

　　例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？

　　解 若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知

｜x-2｜-1=±a，

　　所以 ｜x-2｜=1±a．

　　(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．

　　(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得

x=1-a或x=3+a；

　　由｜x-2｜=1-a，求得

x=1+a或x=3-a．

　　原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．

　　综上可知，a=1．

　　例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．

　　解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即

 

所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．

　　设方程有正根x，则x=ax＋1，即 www.99youjiao.com>

 

所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．

　　综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．

　　例5 设

 

　　求x+y．

　　分析 从绝对值的意义知

　　两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．

　　解 由题设有

　

　　　　　　　

把③代入①得

解之得y=-3，所以x=4．故有

x+y=4-3=1．

　　例6 解方程组

 

　　分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1，即

[1] [2]  下一页

Tag:儿童科普，儿童科普故事,儿童科普读物，早期教育 - 儿童科普

上一篇：不等式的应用