不等式的应用

概要：不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用． 例1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列． 分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b． 解 因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy． 因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy． 因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2． 综上有x＜xy2＜xy． 例2 若 试比较A，B的大小．

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　不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．

　　例1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．

　　分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．

　　解 因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．

　　因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．

　　因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．

　　综上有x＜xy2＜xy．

　　例2 若

 

　　试比较A，B的大小．

　　

显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．

　　例3 若正数a，b，c满足不等式组

 

　　试确定a，b，c的大小关系．

　　解①+c得

 

　　②+a得

 

　　③+b得

　　由④，⑤得

　

　　　　

　　所以 c＜a．

　　同理，由④，⑥得b＜C．

　　所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．

　　例4 当k取何值时，关于x的方程

3(x+1)=5-kx

　　分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．

　　解 将原方程变形为(3+k)x=2．

　　(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．

　　(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．

　　(3)当方程解不大于1时，有

　　

　　所以1+k，3+k应同号，即

　　　

　　得解为　　　　　　k≥-1或k＜-3．

　　注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。

　　例5已知

 

　　求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．

　　

　　 ｜x-1｜-｜x+3｜

　　　　　　　　　　

　　

达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已

　　说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．

　　例6 已知x，y，z为非负实数，且满足

x+y+z=30，3x+y-z=50．

　　求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

　　解 将已知的两个等式联立成方程组

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　　所以①+②得

4x+2y=80，y=40-2x．

　　将y=40-2x代入①可解得

z=x-10．

　　因为y，z均为非负实数，所以

 

　　解得 10≤x≤20．

　　于是

u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140．

　　当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

　　例7 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程

(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，

(c-4d)x=1，x+100=d

的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？

　　解 由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b也为整数，所以

a-2b≥1，即a≥2b+1．

　　同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以

a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3

≥6(4d+1)+3=24d+9

≥24×101+9=2433，

故a可能取得的最小值为2433．

　　

　　求pq的值．

　　解 由已知

　　

　　所以 21q＜30p＜22q．

　　因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是 pq=5×7=35．

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