含绝对值的方程及不等式

　　解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得

｜y+1｜+2｜y｜=3．

组(Ⅰ)的解为

　　同理，解(Ⅱ)有

　　故原方程组的解为

　　例7 解方程组

　　解 由①得

x+y=｜x-y｜+2．

因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③

　　把③代入②有

x+y=x+2，

所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以

x-2=x， ④

　　 或 x-2=-x． ⑤

　　 ④无解，所以只有解⑤得x=1．故

为原方程组的解．

　　说明 本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．

　　例8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

　　 ＜x≤5，x＞5．

-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，

-(x-5)-(2x+3)＜1，

　　(3)当x＞5时，原不等式化为

x-5-(2x+3)＜1，

　　解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．

　　的解．

　　例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．

　　分析与解 此不等式实际上是

　　解 对｜3x-5｜≥1：

　　对｜3x-5｜≤2：

　　所以①与②的公共解应为

　　例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．

　　解 从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．

　　即　　　　　　　　　　　　　　　 x≤-3．

　　即 　　　　　　　　　　　　　　x＞3．

　　说明 本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式

　　分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．

　　例11 当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？

　　解法1 (1)当x≤-2时，

｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．

　　(2)当-2＜x＜1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．

　　(3)当x≥1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．

　　所以，只有当a≥3时，原方程有解．

　　解法2 按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故

｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．

　　其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．

　　1．解下列方程：

　　(1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；

　　(2)｜｜1+x｜-1｜=3x；

　　(3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；

　　(4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜．

　　2．解方程组：

　　3．解下列不等式：

　　(2)5≤｜5x-3｜≤10；

　　(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；

　　(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．

　　4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？