绝对值

概要：(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示： 所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解 要

　　(4)当x≥1时，

y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，

由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．

　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．

　　例10 设a＜b＜c＜d，求

｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜

　　的最小值．

　　分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．

　　解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．

　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：

　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．

　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．

　　分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有

｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．

　　 故x应满足的条件是

　　此时

原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4

=7．

　　1．x是什么实数时，下列等式成立：

　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；

　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．

　　2．化简下列各式：

　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．

　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．

　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？

　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．

　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．

　　(1)在A，C点的右边；

　　(2)在A，C点的左边；

　　(3)在A，C点之间；

　　(4)以上三种情况都有可能．

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