平行线问题

概要： (2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题． 问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？ 问题2 如图1－25所示．若 ∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？ 这两个问题请同学加以思考． 例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°， 求∠C． 分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如&ang

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　　(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

　　问题1 如图1－24所示．∠A₁+∠A₂=∠B₁，问AA₁与BA₂是否平行？

　　问题2 如图1－25所示．若

∠A₁+∠A₂+…+∠A_n=∠B₁+∠B₂+…+∠B_n-1，问AA₁与BA_n是否平行？

　　这两个问题请同学加以思考．

　　例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，

　

　　求∠C．

　　分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．

　　解 过F到 FG∥CB，交 AB于G，则

∠C=∠AFG(同位角相等)，

∠2=∠BFG(内错角相等)．

　　因为 AE∥BD，所以

∠1=∠BFA(内错角相等)，

　　所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG

=∠1-∠2=3∠2-∠2

=2∠2=50°．

　　说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．

　　(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

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　　例4 求证：三角形内角之和等于180°．

　　分析 平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种．

 

　　证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则

∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．

　　显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，

　　所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

　　说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

　　例5 求证：四边形内角和等于360°．

　　分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

　　 证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

∠C=∠4(同位角相等)，

　　又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．

　　由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

 

　　说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．

　　(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：

三角形内角和=180°=(3-2)×180°，

四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．

　　人们不禁会猜想：

五边形内角和=(5-2)×180°=540°，

…………………………

n边形内角和=(n-2)×180°．

　　这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．

　　(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

　　例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．

　　分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．

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