线段与角

　　例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？

　　分析 在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．

　　解 如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以

150°+α=12α，

　　说明 钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．

　　下面再看一例．

　　例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时

　　(1)成120°(图1－12)；

　　(2)成90°(图1－12)．

　　分析与解 (1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．

　　直到两针夹角又一次成为120°

　　设时针顺时针转过a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则

12a=120°+a+120°，

　　由于时针每转过30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1

经过了

　　(2)如图1－13(a)，(b)所示．

　　由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况　：

　　(i)时针在分针之前(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有

120°+α=90°+12α，

　　所以 　　　　　　　　　　　　　　11α=30°，

　　用时

　　(ii)时针在分针之后(如图1－13(b))，此时，有关系

12α-α=120°+90°，

11α=210°，

　　用时

　　间时，时针与分针成90°．

　　说明 由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解．

　　1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．

　　2．如图1－15所示．A₂，A₃是线段A₁A₄上两点，且A₁A₂=a¹，A₁A

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