一道“希望杯”数学题的七种解法

概要：一题多解是培养人们开发思维的极好途径，不仅对课本习题可采用此法，对竞赛题也不例外，请看一道竞赛题的几种不同解法，也许对提高我们的解题能力有所启发。题目：计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000，最后结果是( )(A)0 (B)-1(C)1999 (D)-2000(第十届“希望杯”初一培训题)原题所给的参考答案为：原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(1994-1995-1996+1997)+(1998-1999)-2000=1+0+0+…+0-1-2000=-2000，故选(D)。以上解法我们权且称作不均匀分组法。下面我们再给出几种不同解法。解法一：观察法∵1+2-3-4=-4，1+2-3-4+5+6-7-8=-8，1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12=-12，…经观察知，每一“片断”的代数和均为参加运算

　　一题多解是培养人们开发思维的极好途径，不仅对课本习题可采用此法，对竞赛题也不例外，请看一道竞赛题的
几种不同解法，也许对提高我们的解题能力有所启发。

　　题目：计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000，最后结果是( )

　　(A)0 　　(B)-1　　(C)1999 　(D)-2000

　　(第十届“希望杯”初一培训题)

　　原题所给的参考答案为：

　　原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(1994-1995-1996+1997)+(1998-1999)-2000=1+0+0+…+0-1-2000=-2000，故选(D)。

　　以上解法我们权且称作不均匀分组法。下面我们再给出几种不同解法。

　　解法一：观察法

　　∵1+2-3-4=-4，1+2-3-4+5+6-7-8=-8，1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12=-12，…

　　经观察知，每一“片断”的代数和均为参加运算的最后一个数，故原式=-2000，选(D)。

　　解法二：小段均匀分组法

　　将式中每连续4个数分为一组，则有1+2-3-4=-4，5+6-7-8=-4，9+10-11-12=-4，…，∴2000÷4=500(组)，故原式

=500×(-4)=-2000.

　　解法三：凑零法

　　∵-0+1+2-3=0，-4+5+6-7=0，…，-1996+1997+1998-1999=0，∴原式=0+0+…+0-2000=-2000.

　　解法四：大段均匀分组法

　　按个位数0，1，2，3，…，8，9分为一大组，进行计算，则有

　　1+2-3-4+5+6-7-8+9=-0+1+2-3-4+5+6-7-8+9=1，

　　又10-11-12+13+14-15-16+17+18-19=-1

　　而-20+21+22-23-24+25+26-27-28+29=1

　　另外：30-31-32+33+34-35-36+37+38-39=-1，…

　　1990-1991-1992+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999=-1.

　　∴原式=1-1+1-1+…+1-1-2000=0+0+…+0-2000=-2000.

　　解法五：添数法

　　每一个方框数之和为-2，而这样的方框有1000个，将每个方框中添加2，故有：原式+2000=0.

　　∴原式=-2000.

　　解法六：隔数相加法

　　在1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000中

　　隔数相加：如1-3=-2，2-4=-2，5-7=-2，…，这样的数对共有1000对，∴原式=-2×1000=-2000.

　　解法七：倒序错位相加法

　　令1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000=T

　　∴有1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000

　　故2T=3-2003-2003+3=-4000，∴T=-2000.

　　以上几种解法各有千秋。繁简程度各异，仅体现了不同的思维方式，也展现了思维的广阔性和灵活性，有助于我
们拓展视野。